การโทร ปัญหาสหัสวรรษ มีปัญหาทางคณิตศาสตร์เจ็ดประการที่เกิดจาก สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ ในปี พ.ศ. 2000 ถือเป็นความท้าทายต่อชุมชนคณิตศาสตร์ รางวัลที่สัญญาไว้คือ หนึ่งล้านดอลลาร์ สำหรับแต่ละปัญหาเหล่านี้หากได้รับการแก้ไข อย่างไรก็ตาม จนถึงขณะนี้ มีการสาธิตเพียงรายการเดียวเท่านั้น ปัญหาเหล่านี้ถือเป็นปัญหาที่ซับซ้อนที่สุดในคณิตศาสตร์ปัจจุบัน และการแก้โจทย์ปัญหาอาจแสดงถึงความก้าวหน้าที่สำคัญไม่เพียงแต่ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ในสาขาที่เกี่ยวข้อง เช่น ฟิสิกส์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ และวิทยาการเข้ารหัส
ปัญหาสหัสวรรษคืออะไร?
ลอส ปัญหาสหัสวรรษ เป็นชุดของการคาดเดาหรือข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับการตรวจสอบว่าสอดคล้องกับหลักฐานที่ทราบ แต่ยังไม่พบวิธีแก้ไข การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด ที่ยืนยันพวกเขา การแก้ปัญหาข้อใดข้อหนึ่งเหล่านี้ไม่เพียงแต่เกี่ยวข้องกับการทำความเข้าใจข้อความในเชิงลึกเท่านั้น แต่ยังต้องแสดงให้เห็นถึงความจริงบนพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่มั่นคงอีกด้วย ความจริงที่ว่าปัญหาเหล่านี้มีเพียงปัญหาเดียวเท่านั้นที่ได้รับการแก้ไขจนถึงขณะนี้เป็นเครื่องยืนยันถึง ความยาก ของพวกเขา
El สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ วางปัญหาเหล่านี้เพื่อส่งเสริมความก้าวหน้าของความรู้ทางคณิตศาสตร์ หากปัญหาได้รับการแก้ไข สถาบันไม่เพียงแต่มอบเกียรติคุณในการไขคำถามที่ซับซ้อนที่สุดในคณิตศาสตร์สมัยใหม่เท่านั้น แต่ยังให้รางวัลอีกด้วย หนึ่งล้านดอลลาร์- โดยรวมแล้ว มีการเสนอความท้าทายเจ็ดประการในเบื้องต้น ซึ่งจนถึงขณะนี้มีเพียงข้อเดียวเท่านั้นที่ได้รับการแก้ไข มาดูกันว่าปัญหาเหล่านี้ประกอบด้วยอะไรบ้าง
การคาดเดาของPoincaré
La การคาดเดาของPoincaré มันเป็นปัญหาเดียวในสหัสวรรษที่ได้รับการแก้ไขจนถึงปัจจุบัน เสนอโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส อองรี ปัวน์กาเร ในปี พ.ศ. 1904 และตั้งสมมติฐานในสาขา โทโพโลยีที่เกี่ยวข้องกับลักษณะของทรงกลมสามมิติ การคาดเดาระบุว่าท่อร่วมสามมิติใดๆ ที่เชื่อมต่อกันง่ายๆ จะต้องมีลักษณะเป็นโฮโอมอร์ฟิกกับทรงกลมสามมิติ
ในที่สุดการคาดเดาก็ได้รับการแก้ไขโดยนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย กริกอรี เปเรลมัน ในปี 2002 ผู้เผยแพร่ข้อพิสูจน์ของเขาด้วยวิธีที่แหวกแนว: เขาตีพิมพ์ทางออนไลน์แทนที่จะส่งไปยังวารสารวิทยาศาสตร์ แม้ว่าในตอนแรกจะมีความกังขาเกี่ยวกับวิธีการของเขา แต่งานของเขาได้รับการตรวจสอบโดยนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ และในปี 2006 เขาได้รับ เหรียญฟิลด์- อย่างไรก็ตาม Perelman ปฏิเสธทั้งรางวัลและล้านดอลลาร์ที่สถาบัน Clay เสนอ
P กับ NP
หนึ่งในปัญหาที่มีชื่อเสียงที่สุดของ ทฤษฎีการคำนวณ ถูกเรียก P กับ NP- ปริศนาทางคณิตศาสตร์นี้ทำให้เกิดคำถามว่าปัญหาทั้งหมดที่สามารถตรวจสอบได้อย่างรวดเร็วจะสามารถแก้ไขได้อย่างรวดเร็วหรือไม่ ในแง่ที่เป็นทางการมากขึ้น ปัญหาคือการกำหนดว่า P (ชุดของปัญหาที่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม) เท่ากับ NP (ชุดของปัญหาที่สามารถตรวจสอบผลลัพธ์ได้ในเวลาพหุนาม) หรือไม่
การแก้ปัญหานี้อาจมีผลกระทบเชิงปฏิวัติในหลายด้าน รวมทั้ง การอ่านรหัสที่ ปัญญาประดิษฐ์ และ การเพิ่มประสิทธิภาพ- ถ้า P เท่ากับ NP งานหลายอย่างที่ซับซ้อนอย่างมากสำหรับคอมพิวเตอร์ในปัจจุบัน เช่น การถอดรหัสรหัสผ่าน การอ่านรหัส หรือแก้ไขปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพที่ซับซ้อนสามารถทำได้ในเวลาที่สั้นกว่ามาก
การคาดเดาของฮ็อดจ์
La การคาดเดาของฮอดจ์ เกิดขึ้นในด้านของ เรขาคณิตเชิงพีชคณิต และ โทโพโลยีพีชคณิต- โดยทั่วไป มันระบุว่าสำหรับความหลากหลายทางพีชคณิตที่ฉายภาพที่ซับซ้อน วัฏจักรบางอย่างที่ปรากฏใน cohomology ของ de Rham มีความสอดคล้องกับ ชั้นเรียนพีชคณิต ของพันธุ์ย่อย วัฏจักรพีชคณิตเหล่านี้จะเป็นผลรวมเชิงเส้นตรงของหน่วยย่อยพีชคณิต
หนึ่งในความท้าทายที่ใหญ่ที่สุดสำหรับการคาดเดานี้คือว่าอยู่ในสาขาที่เกี่ยวข้องกับทั้งสองสาขาวิชา และเครื่องมือที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาอาจไม่ได้เป็นเพียงของ สนามพีชคณิต o ค่าแต่ต้องใช้เทคนิคแนวขวางและซับซ้อนมากกว่ามาก
สมมติฐานรีมันน์
ถูกตั้งขึ้นในปี ค.ศ. 1859 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน แบร์นฮาร์ดไรมันน์สมมติฐานนี้เป็นหนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่และลึกลับที่สุดปัญหาหนึ่ง ที่ สมมติฐานรีมันน์ หมายถึงการกระจายตัวของ จำนวนเฉพาะ และระบุว่าศูนย์ไม่สำคัญทั้งหมดของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์มีค่า 1/2 เป็นส่วนที่แท้จริง
ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์มีความสัมพันธ์ใกล้ชิดกับจำนวนเฉพาะ และหากสมมติฐานนี้ได้รับการพิสูจน์ ความเข้าใจก็จะลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับ การกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ- นักคณิตศาสตร์หลายคนเชื่อว่าสมมติฐานนั้นถูกต้อง และมีการคำนวณศูนย์นับล้านล้านที่สอดคล้องกับการคาดเดา แต่จนถึงขณะนี้ยังไม่สามารถพิสูจน์ได้อย่างสมบูรณ์
การดำรงอยู่ของ Yang-Mills และการกระโดดครั้งใหญ่
La ทฤษฎีหยาง-มิลส์ เป็นส่วนสำคัญของฟิสิกส์อนุภาคและทฤษฎีสนามควอนตัม เดิมมีโครงสร้างเพื่อจำลอง สนามแม่เหล็กไฟฟ้า และต่อมาถูกนำไปใช้กับโครโมไดนามิกส์ควอนตัม ซึ่งอธิบายปฏิสัมพันธ์ระหว่างควาร์กและกลูออนในนิวเคลียสของอะตอม ปัญหาทางคณิตศาสตร์อยู่ที่การแสดงให้เห็นถึงความมีอยู่และความถูกต้องแม่นยำของสมการ Yang-Mills และทำความเข้าใจว่าสมการนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร ช่องว่างมวล.
ปรากฏการณ์ช่องว่างมวลหมายถึงเหตุใดอนุภาคไม่มีมวลเช่นกลูออนในรูปแบบคลาสสิกจึงมีมวลจำกัดในทฤษฎีควอนตัม แม้ว่าจนถึงขณะนี้การจำลองบนซูเปอร์คอมพิวเตอร์ได้ดำเนินการเพื่อสนับสนุนการคาดเดาแล้ว แต่การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดยังคงเป็นสิ่งที่เข้าใจยาก
สมการเนเวียร์-สโตกส์
ลา สมการเนเวียร์-สโตกส์ เป็นชุดสมการที่บรรยายถึง การเคลื่อนไหวของของไหล เช่นของเหลวและก๊าซ สมการเหล่านี้จัดทำขึ้นในศตวรรษที่ 19 เป็นพื้นฐานในการทำความเข้าใจพลศาสตร์ของไหล ตั้งแต่การไหลของอากาศที่ส่งผลต่อเครื่องบินไปจนถึงรูปแบบสภาพอากาศและกระแสน้ำในมหาสมุทร อย่างไรก็ตาม ความซับซ้อนของสมการเหล่านี้ ไม่อนุญาตให้นักคณิตศาสตร์เข้าใจพฤติกรรมบางอย่างอย่างถ่องแท้ เช่น การก่อตัวของความปั่นป่วนหรือการเปลี่ยนจากการไหลแบบราบเรียบไปสู่การไหลแบบปั่นป่วน
ความท้าทายทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยการสาธิตภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นบางอย่างว่าวิธีแก้ปัญหาที่ราบรื่น (นั่นคือ ไม่มีเอกฐาน) ของสมการเนเวียร์-สโตกส์สามารถรักษาไว้ได้เมื่อเวลาผ่านไป หรือในทางกลับกัน หากเกิดภาวะเอกฐานที่ส่งผลต่อความต่อเนื่องของสมการนั้น
การคาดเดาของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเยอร์
นี้ เดาเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ไบรอัน เบิร์ช y ปีเตอร์ สวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ ในทศวรรษ 1960 เขาจัดการกับวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผล เส้นโค้งวงรี- เส้นโค้งวงรีเป็นวัตถุพีชคณิตที่สามารถมองเห็นเป็นเส้นในระนาบในรูปแบบที่ง่ายที่สุด และ ทฤษฎีจำนวน เชื่อมโยงชุดคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์กับเส้นโค้งเหล่านี้
การคาดเดาเสนอแนะว่ามีวิธีกำหนดได้ว่าเส้นโค้งรูปวงรีมีจำนวนคำตอบที่เป็นเหตุเป็นผลจำนวนจำกัดหรืออนันต์ โดยพิจารณาจากคุณสมบัติบางอย่างของเส้นโค้งนั้น ฟังก์ชันแอล- การแก้ปัญหานี้จะเกี่ยวข้องกับความก้าวหน้าที่สำคัญในด้านต่างๆ เช่น การเข้ารหัส เนื่องจากเส้นโค้งรูปไข่เป็นพื้นฐานในระบบการเข้ารหัสสมัยใหม่หลายระบบ
การแก้ปัญหาใดๆ เหล่านี้จะเป็นความสำเร็จที่ไม่เคยมีมาก่อน และจะเปลี่ยนโฉมคณิตศาสตร์ รวมถึงการมอบรางวัลทางการเงินมากมายและคุณประโยชน์ทางวิชาการชั่วนิรันดร์