La แยกตัวประกอบนิพจน์พีชคณิต เป็นขั้นตอนที่นิพจน์ดังกล่าวเขียนเป็นการคูณตัวประกอบที่ง่ายกว่า กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อแยกตัวประกอบพหุนามวัตถุประสงค์คือเพื่อค้นหาคำศัพท์ที่เมื่อคูณแล้วจะทำให้เกิดการแสดงออกทางพีชคณิตที่เหมือนกัน
กระบวนการนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในพีชคณิต เนื่องจากจะทำให้สมการง่ายขึ้นและทำให้จัดการได้ง่ายขึ้นมาก นอกจากนี้ วัตถุประสงค์ที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งในการแยกตัวประกอบพหุนามคือการแสดงว่ามันเป็น ผลคูณของพหุนามอื่นที่มีดีกรีต่ำกว่า.
เพื่อให้เข้าใจแนวคิดได้ดีขึ้น ลองพิจารณาตัวอย่างพื้นฐาน:
นิพจน์พีชคณิต: x(x + y)
เมื่อคูณเงื่อนไขของนิพจน์นี้ เราจะได้:
x2 +xy
ทางนี้: x(x + y) = x2 +xy
La แฟคตอริ่ง มันมีประโยชน์ไม่เพียงเพราะช่วยให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น แต่ยังช่วยให้คุณสามารถระบุคุณสมบัติและความสัมพันธ์ระหว่างเงื่อนไขของนิพจน์พีชคณิตได้
ปัจจัยร่วม
ก่อนที่จะเริ่มด้วยเทคนิคการแยกตัวประกอบ จำเป็นต้องเข้าใจว่าคำนี้หมายถึงอะไร ปัจจัยร่วม- ด้วยการค้นหาตัวประกอบร่วมภายในพหุนาม เรามุ่งหมายที่จะระบุคำที่ซ้ำกันในทุกเงื่อนไขของนิพจน์ ช่วยให้เราสามารถทำให้มันง่ายขึ้นได้
อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าการแยกตัวประกอบไม่สามารถทำได้เสมอไป เพื่อที่จะแยกตัวประกอบ จะต้องมีคำศัพท์ทั่วไปอย่างน้อยหนึ่งคำที่สามารถใช้ได้ มิฉะนั้นจะไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีก
ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์:
xa + yb + zc
ไม่มีหญ้าแห้ง ningún ปัจจัยร่วม ระหว่างเงื่อนไข ดังนั้นจึงไม่สามารถแยกตัวประกอบได้
ลองดูอีกกรณีหนึ่งที่เป็นไปได้:
a2x + เป็2y
ปัจจัยทั่วไปที่นี่คือ a2- เพื่อความง่าย เราจะหารทั้งสองพจน์ด้วยปัจจัยร่วมนี้:
- a2x ถูกหารด้วยก2ซึ่งให้ x
- a2y ถูกหารด้วยก2, ให้อะไร และ
สุดท้าย นิพจน์แบบแยกตัวประกอบคือ:
a2(x + ย)
การใช้ตัวประกอบร่วมในการแยกตัวประกอบพหุนาม
ในหลายกรณี พจน์บางพจน์ของพหุนามจะมี a ปัจจัยร่วมในขณะที่คนอื่นทำไม่ได้ ในสถานการณ์เหล่านี้ สิ่งที่ควรทำคือก การจัดกลุ่มคำเพื่อให้คำที่จัดกลุ่มมีปัจจัยร่วมกัน
ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์:
xa + ยา + xb + yb
เราสามารถจัดกลุ่มคำศัพท์ได้หลายวิธี:
(xa + ยา) + (xb + yb)
หากเราวิเคราะห์คำศัพท์ที่จัดกลุ่ม เราจะสังเกตปัจจัยทั่วไปในแต่ละกลุ่มได้:
ก(x + y) + ข(x + y)
สุดท้าย เราสามารถแยกตัวประกอบนิพจน์ได้ดังนี้:
(x + y)(ก + ข)
เทคนิคนี้เรียกว่า "การแยกตัวประกอบแบบกลุ่ม" และช่วยให้คุณสามารถจัดรูปพหุนามให้ง่ายขึ้นได้ แม้ว่าแต่ละพจน์จะมีตัวประกอบร่วมไม่เหมือนกันก็ตาม ควรสังเกตว่ามีมากกว่าหนึ่งวิธีในการจัดกลุ่มและผลลัพธ์จะเหมือนเดิมเสมอ ตัวอย่างเช่น ในกรณีเดียวกันนี้ เราสามารถจัดกลุ่มคำศัพท์ได้ดังนี้:
(xa + xb) + (ยา + yb)
ซึ่งนำไปสู่:
x(ก + ข) + ย(ก + ข)
ในที่สุดเราก็ได้ผลลัพธ์เดียวกัน:
(ก + ข)(x + ย)
กระบวนการนี้ได้รับการสนับสนุนจากกฎการสับเปลี่ยนซึ่งระบุว่าลำดับของปัจจัยไม่เปลี่ยนแปลงผลคูณขั้นสุดท้าย
วิธีการขั้นสูง: การแยกตัวประกอบโดยใช้ผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่น
มีวิธีการอื่นในการแยกตัวประกอบพหุนาม ซึ่งได้แก่ ผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่น- สินค้าที่โดดเด่นที่พบบ่อยที่สุดคือ trinomial จตุรัสที่สมบูรณ์แบบ และ y ตรีโกณมิติของรูปแบบ x2 + bx + ค- นอกจากนี้ยังมีผลิตภัณฑ์อื่นๆ ที่น่าสนใจอีกด้วย แต่มีแนวโน้มที่จะนำไปใช้กับทวินามมากกว่า
ไตรโนเมียลกำลังสองที่สมบูรณ์แบบ
Un trinomial จตุรัสที่สมบูรณ์แบบ เป็นพหุนามที่ประกอบด้วยพจน์สามพจน์ ซึ่งเป็นผลมาจากการยกกำลังสองของทวินาม กฎบอกว่ากระบวนการเป็นไปตามโครงสร้างนี้: กำลังสองของเทอมแรก บวกสองเท่าของเทอมแรกคูณเทอมที่สอง บวกกำลังสองของเทอมที่สอง.
หากต้องการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองสมบูรณ์ ให้ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:
- เราแยกรากที่สองของเทอมแรกและเทอมที่สามออกมา
- เราแยกรากด้วยเครื่องหมายที่ตรงกับเทอมที่สอง
- เรายกกำลังสองทวินามที่เกิดขึ้น
ลองดูตัวอย่าง:
4a2 – 12เอบี + 9บี2
- รากที่สองของ 4a2: 2a
- รากที่สองของ 9b2: 3บ
ตรีโกณมิติจะถูกแยกตัวประกอบเป็น:
(2ก – 3ข)2
Trinomial ของรูปแบบ x2 + bx + ค
ตรีนามประเภทนี้มีลักษณะเฉพาะที่ทำให้แยกตัวประกอบได้ง่ายขึ้น หากต้องการแยกตัวประกอบของแบบฟอร์มนี้ให้แยกตัวประกอบได้ ต้องเป็นไปตามเกณฑ์ต่อไปนี้:
- สัมประสิทธิ์ของเทอมแรกต้องเป็น 1
- เทอมแรกต้องเป็นตัวแปรกำลังสอง
- เทอมที่สองมีตัวแปรเหมือนกัน แต่ไม่เป็นกำลังสอง (มีเลขชี้กำลัง 1)
- ค่าสัมประสิทธิ์ของเทอมที่สองอาจเป็นค่าบวกหรือลบก็ได้
- เทอมที่สามคือตัวเลขที่ไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับเทอมก่อนหน้า
ตัวอย่างของการแยกตัวประกอบนี้จะเป็นตรีโกณมิติต่อไปนี้:
x2 +9x +14
หากต้องการแยกตัวประกอบ ให้ทำตามขั้นตอนนี้:
- เราแยกตรีโนเมียลออกเป็นสองทวินาม
- เทอมแรกของทวินามแต่ละตัวคือรากที่สองของเทอมแรกของตรีโนเมียล (ในกรณีนี้คือ “x”)
- สัญลักษณ์ของทวินามถูกกำหนดตามปริมาณที่สองและสามของตรีนาม (บวกในกรณีนี้)
- เรากำลังมองหาตัวเลขสองตัวที่เมื่อคูณแล้วจะได้ 14 และเมื่อบวกแล้วจะได้ 9 (ตัวเลือกคือ 7 และ 2)
ด้วยวิธีนี้ ตรีโกณมิติแบบแยกตัวประกอบคือ:
(x + 7)(x + 2)
วิธีการเพิ่มเติม: ทฤษฎีบทตัวประกอบและกฎของรัฟฟินี
El ทฤษฎีบทปัจจัย ระบุว่าพหุนามสามารถหารด้วยพหุนามในรูปแบบ (x – a) ลงตัว หากเมื่อประเมินพหุนามเดิมสำหรับ x = a แล้วผลลัพธ์จะเป็น 0 ทฤษฎีบทนี้มีประโยชน์ในการค้นหารากของพหุนามและทำให้การแยกตัวประกอบง่ายขึ้น มักจะใช้ร่วมกับ กฎของรัฟฟินีซึ่งเป็นวิธีการแบบง่ายสำหรับการหารพหุนาม
เครื่องมือเหล่านี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อทำงานกับพหุนามระดับ 3 หรือสูงกว่า ซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะใช้วิธีการง่ายๆ เช่น ผลคูณตรีโกณมิติกำลังสองสมบูรณ์หรือผลคูณที่โดดเด่น
สุดท้ายนี้ สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าไม่สามารถแยกตัวประกอบพหุนามทั้งหมดได้ง่าย ในบางกรณี จำเป็นต้องใช้วิธีการขั้นสูงหรือเทคนิคเชิงตัวเลขเพื่อค้นหารากของพหุนาม อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างส่วนใหญ่ที่พบในพีชคณิตพื้นฐานสามารถแก้ไขได้โดยใช้เครื่องมือเหล่านี้
การแยกตัวประกอบเป็นเครื่องมือที่ทรงพลังในพีชคณิตเพราะช่วยให้คุณลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนและแก้สมการได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น เมื่อเชี่ยวชาญวิธีการต่างๆ ของการแยกตัวประกอบพหุนามแล้ว เราจึงสามารถประยุกต์ใช้วิธีแก้ปัญหาที่หลากหลายได้รวดเร็วและมีประสิทธิภาพมากขึ้น